RUANG VEKTOR UMUM

Ruang Vektor Real

Aksioma Ruang Vektor didefinisikan, misalkan V adaah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, dimana dua oprasinya di definisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan).

- Operasi Penjumlahan dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u+v yang disebut jumlah ( sum ) dari u dan v
- Operasi perkalian skalar dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek ku, yang disebut kelipatan skalar dari u oleh k.

Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek u,v,w pada V dan semua skala k dan l maka kita dapat menyebut V sebagai RUANG VEKTOR dan kita menyebut objek objek pada V sebagai VEKTOR
Jika u dan v adalah objek-objek pada V maka u+v berada pada V
u + v = v + u
u+(v+w) = (u+v)+w
Di dalam V terdapat objek 0 yang disebut vektor 0 untuk V sedemikian serupa sehingga 0+u = u+0 = u untuk semua u pada V
untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V yang disebut sebagai negatif dari u sedemikian sehingga
u+(-u) =(-u) + u = 0
Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek sebarang pada V maka ku terdapat pada V
k(u+v) = ku + kv
(k+l)u = ku+lu
k(lu) = (kl)(u)
1u = u

Skalar dapat berupa bilangan real maupun kompleks

Ruang Vektor Real- Skalar real
Ruang Vektor Kompleks- Skalar Kompleks

SUBRUANG

Suatu sub himpunan W dari ruang vektor V disebut sub ruang dari V jika W itu sendiri merupakan suatu ruang vektor dibawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V

Teorema
1. Jika W adalah suatu himpunan yang terdiri atas satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V maka W adalah suatu sub ruang jika dan hanya jika syarat berikut terpenuhi

Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W maka u+w berada pada W.
Jika k adakah skalar sebarang dan u adalah vektor sebarang pada W maka ku berada pada W.

2. Jika Ax=0 adalah suatu sistem liner homogen yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, maka himpunan vektor solusi adalah suatu subruang dari Rm.

3. Jika V1,V2,……Vr adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor V, Maka

Himpunan Wyang terdiri dari semua kombinasi linier V1,V2,…..,Vr adalah suatu sub ruang dari V.
W adalah sub ruang terkecil dari V yang mengandung V1,V2,….,Vr dalam arti bahwa setiap subruang lain dalam V yang mengandung V1,V2,…,Vr pasti mengandung W.

4. Jika S = (V1, V2,…, Vr) dan S’=(W1,W2,….,Wk) adalah dua himpunan vektor –vektor pada suatu ruang vektor V maka

rentang(V1,V2,……., Vr)= rentang (W1,W2,….Wk)

jika dan hanya jika setiap vektor pada S adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pada S’ dan setiap vektor pada S’ adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pada S.

Kebebasan Linier
Definisi
Jika S = (V1,V2,…,Vr) adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka persamaan vektor

K1V1+K2V2+….+KrVr = 0

Memiliki paling tidak satu solusi, yaitu

K1=0, K2=0….., kr = 0

jika ini satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linier (linierly Independent). Jika terdapat solusi-solusi lain, maka S disebut sebagai himpunan tidak bebas linier (linierly dependent)

Teorema
1. Suatu hipunan S dengan dua atau Lebih vektor adalah:

Tidak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu dari vektor pada S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S.
Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S.

2. Suatu himpunan terhingga vektor-vektor yang mengandung vektor nol adalah tidak bebas linier.
Suatu himpunan dengan tepat dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika tidak satupun dari vektornya merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya.

3. Misalkan S = (V1, V2,….,Vr) adalah suatu himpunan vektor-vektor pada Rm . Jika r>n, maka S tidak bebas linier.

4. Jika fungsi f1,f2,…..,fn memiliki n-1 turunan kontinu pada interval (-∞,∞), dan jika wronskian dari fungsi-fungsi ini tidak identk dengannol pada (-∞,∞), maka fungsi-fungsi in membentuk suatu himpunan bebas linier pada C(N-1) (-∞,∞).

BASIS DAN DIMENSI
DEFINISI

Jika V adalah suau ruang vektor sebarang dan S= (v1,V2,…,Vn) adalh suatu hmpunan vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika dua syarat berikut berlaku:
a) S bebas Linier
b) S merentang V

Teorema
1. Keunikan Reprentasi Basis

Jika S = (V1,V2,….,Vn) adalah suatu basis dari ruang Vektor V, maka setiap vektor v pada V dat dinyatakan dalam bentuk V=C1V1+C2V2+…..+CnVn dengan tepat satu cara.

2. Misalkan V adalah suatu ruang berdimensi terhingga dan (V1,V2,…Vn) adalah baris sebarang.

a. Jika suatu bidang himpunan mempunyai vektor lebih dari n, maka vektor tersebut bersifat tidak bebas linier
b. Jika suatu himpunan memiliki vektor kurang dari n, maka himpunan tersebut bersifat tidak merentang V

3. Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memiliki jumlah vektor yang sama

4. Teorema plus/minus

Misalkan S adalah himpunan tak kosong vektor-vektor pada ruang vektor V.
Jika S adalah himpunan bebas linier dan jika v adalah suatu vektor pada V yang terletak di luar rentang (S), maka himpunan S U {v} yang diperoleh dengan menyisipkan v ke dalam S masih bersifat bebas linear.
Jika V adalah suatu vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya pada S, dan jika S – {v} menotasikan himpunan yang diperoleh dengan mengeluarkan v dari S, maka S dan S – {v} merentang ruang yang sama; yaitu
rentang (S)= rentang (S-{v})

5. Jika V adalah suatu ruang berdimensi n, dan jikaS adalah suatu himpunan pada V dengan tepat n vektor, maka S adalah basis untuk V jika salah satu dari hal berikut berlaku, S merentang V atau S bebas linier.

6. Misalkan S adalah suatu himpunan tehingga dari vektor-vektor pada suatu ruang vektor V berdimensi terhingga

Jika S merentangV, tetapi bukan suatu basis untuk V, maka S dapat direduks menjadi suatu basis untuk V dengan mengelurkan vektor-vektor yang sesuai dari S.
Jika S adalah suatu himpunan bebas linear yang belum merupakan basis untuk V maka S dapat diperbesar menjadi suatu basis untuk V dengan menisipkan vektor-vwktor yang sesuai kedalam S.

7. Jika W adalah suatu subruang dari suatu sub ruang vektor V yang berdimensi terhingga, maka dim(w) ≤ dim (v). Lebih lanjut jika dim (W) = dim (V), maka W=V

Ruang Vektor Umum >>> Matriks dan Ruang Vektor

Posted in: Matriks dan Ruang Vektor